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19世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）提出了绝对无限的概念

绝对无限，或称为Ω，是康托尔集合论中的一个核心概念。本文将为你分享

在康托尔的集合论中，绝对无限Ω是一个超越所有超限数的无限概念。它不仅仅是一个量的概念，Ω具有两个核心性质：反射原理和不可达性。

反射原理

Ω的所有性质必然与其他超限数所共享。这意味着，如果Ω具有某个独特的性质p，而其他无限集都不具备，那么这一性质就不能用来唯一地描述Ω。否则，Ω就失去了其绝对性和不可定义性。因此，Ω的任一性质都至少被无限多个超限数所共享。

也就是：

对于任意性质p，如果p(Ω)且?x(x≠Ω→?p(x))，则?无穷多个x(p(x))。

不可达性

Ω不能被小于它的数构造出来。这意味着Ω不是通过任何已知的集合论操作或构造方法从较小的无限集合中推导出来的。它代表了某种无法从下方触及的“终极无限”。

不可达性表达是这样的：

对于任意集合S，如果|S|<Ω，则不存在从S到Ω的映射f，使得f(S)=Ω。

绝对无限的数学构造

基于集合论的视角

在集合论中，无限集合的概念是通过递归或归纳的方式定义的。不过Ω不是任何已知集合的基数或序数，它超越了所有可以通过集合操作形成的无限集合。

为了构造Ω，我们可以考虑将所有可能的无限序数的集合视为一个整体。这个整体包含了所有可能的无限形式，因此可以被视为一种“终极”的无限。然而，这个集合本身在朴素集合论中是不合法的，因为它包含了自身，从而引发了悖论。

类型论

我们可以使用类型层次结构来避免悖论。我们可以将无限序数的集合视为一个更高类型的对象，从而避免它包含自身的情况。这样，我们可以尝试构造一个包含所有无限形式的“终极”无限对象，即绝对无限Ω。

表示为：

设Type为类型层次结构，对于任意类型T∈Type，存在更高类型T'∈Type，使得T'包含所有T类型的无限序数集合。

类型论/范畴论的视角

在范畴论中，我们可以将所有可能的数学结构视为一个范畴，并尝试找到这个范畴中的“终极终端对象”。这个终端对象将包含所有其他数学结构，但又无法被任何更小的结构所构造。这个终端对象就是我们所追求的绝对无限Ω。

范畴论中的这一构造如下：

设Cat为范畴，Obj为Cat中的对象集合，对于任意对象A∈Obj，存在终端对象Ω∈Obj，使得对于任意对象B∈Obj，存在唯一态射f:B→Ω。

除了集合论、类型论和范畴论外，在逻辑学中也可以尝试，我们可以考虑将绝对无限视为一种逻辑可能性的极限。在所有的逻辑系统和数学理论中，总存在一些无法被证明或证伪的命题。这些命题可能代表了某种超越当前逻辑框架的“无限可能性”。绝对无限或许就是这种无限可能性的终极体现。