首先我们来了解一手ZFC集合论体系
ZFC 集合论是应用最为广泛的集合论体系，它包含如下的公理：
（1）外延公理 (Ext)：
∀u(u ∈ X ↔ u ∈ Y ) → X = Y.
(2) 无序对公理 (Pair)：
∀a∀b∃c∀x(x ∈ c ↔ x = a ∨ x = b).
(3) 分离公理 (Sep)：
∀X∀p∀p1 . . . ∀p∀pn∃Y ∀u (u ∈ Y ↔ u ∈ X ∧ ψ (u, p₁, . . . , pₙ)).
(4) 并集公理 (Union)
∀X∃Y ∀u(u ∈ Y ↔ ∃z(z ∈ X ∧ u ∈ z)).
(6) 无穷公理
(Inf)∃S(∅ ∈ S ∧ (∀x ∈ S)x ∪ {x} ∈ S).
(7) 替换公理模式 (Rep)
∀x∀y∀z(ϕ(x, y, p) ∧ ϕ(x, z, p) → y = z)(ϕ(, y, p) ϕ(, , p) y )→ ∀X∃Y ∀y(y ∈ Y ↔ (∃x ∈ X)ϕ(x, y, p)).
(8) 正则公理
(Reg)∀S(S 6= 6= ∅ → (∃x ∈ S)S ∩ x = ∅).
(9) 选择公理 (Choice)
∀x(∃o(o ∈ x ∧ ¬∃n(n ∈ o))∨∃a∃b∃c(a ∈ x ∧ b ∈ x ∧ c ∈ a ∧ c ∈ b ∧ ¬(a = b))∨∃c∀e(e ∈ x → ∃a(a ∈ e ∧ a ∈ c ∧ ∀b((b ∈ e ∧ b ∈ c) → a = b)))).
ZFC 是一个强大的集合论体系，其证明论序数远超我们的认识。如果从 ZFC 中去除掉选择公理，则得到的体系称为 ZF
ZF = ZFC − Choice.
如果从 ZFC 中去除掉幂集公理，则得到的体系称为 ZFC−
ZFC− = ZFC − Power.
如果从 ZF 中去除掉替换公理，则得到的体系称为Z
Z = ZF − Rep
NBG(von Neumann–Bernays–Gödel) 集合论中的基本对象为类，而集合是一种特殊的类。我们用大写字母表示类，而小写字母表示集合。NBG 集合论中具有如下公理
(1) 集合公理：如果一个类是另一个类的元素，那么这个类就是集合∀X∀Y (X ∈ Y → M(X))
这里的谓词 M(X) 表示 X 是集合。
(2) 类的外延公理：如果两个类的元素相同，则两个类相同
∀X∀Y [∀u(u ∈ X ↔ u ∈ Y ) ↔ X = Y ].
(3) 空集公理：
存在一个集合，没有任何元素
∃x∀y(y ∈/ ∈/ x).
空集记为 ∅
再然后我们还有更多的公理
并集公理
幂集公理
无穷公理
替换公理
属类公理
交类公理
补类公理
积类公理
定义域类公理
逆类公理
轮换公理
对换公理
类的正则公理
类的选择公理
这些我就不一个一个打出来了直接放图
以上是 NBG 集合论的全部公理。可以证明，NBG 集合论与 ZFC 集合论是等价的。在 NBG集合论中去除掉类的选择公理，得到的体系称为 GB
好了接下来开始叠盒正文了
在 ZFC 集合论中，我们利用无穷公理宣称了无限集的存在。所有无限集之中的最小者就是自然数集 ω，其基数为 ℵ₀在此前的章节中，我们曾经利用递归的方式讨论了许多非常庞大的大序数，并且还讨论了许多非常庞大、且不能够利用递归方法得到的非递归序数。但是所有上面得到的这些序数仍然与 ℵ₀是等势的。换句话说，尽管我们前面已经进行了如此之多的讨论，但是在基数的层面上，我们却连第一步也没有踏出去。那么我们应当如何才能超越 ℵ₀的限制，得到更大的基数呢？在集合论中我们知道，对于任何一个集合 A 来说，其幂集 P(A) 或 2ᵃ均大于自身
A ≺ P(A) ≈ 2ᵃ
根据良序定理，幂集上也可以构建良序，所有良序中最小的那个序数就对应于 P(A) 的基数，它比 A 自身的基数更大。因此从 ℵ₀出发，对其取幂集即可以定义一个更大的基数。连续统假设指出，任意的ℵ₁与 2^ℵ₁
ℵ₁之间都不存在其他的基数，因此我们有
ℵ₁ = P(ℵ₀).
更一般地，根据广义连续统假设有
ℵᵢ₊₁= P(ℵ₁).
现在我们已经得到了一系列的超限基数
ℵ₁ℵ₂ℵ₃……
那么还存在着一些其他的基数吗？答案是肯定的。根据选择公理，将一个集合中的每一个元素都替换为其他的集合，所得到的各个元素仍然可以构成一个集合。因此，这些超限基数的集合也构成一个集合
{ℵ₁ℵ₂ℵ₃……}
由于基数就是一种特殊的序数，因此基数数列也就是序数数列。因此对于上述基数数列来说，其所有元素之并集就是这一基数数列的上确界，它是大于数列中所有基数的最小基数，我们将之记作ℵω = sup{ℵ0, ℵ1, ℵ2, . . .}.
由于 ω 就是 ℵ₀，因此这一基数也可以记作ℵℵ₀
我们将那些通过取幂集能够得到的基数称为后继基数，将那些不是其他基数后继的基数称为极限基数。从 ℵω 开始取后继，又可以得到一系列的后继基数
ℵℵℵ₀……ℵℵℵℵ₀…省略ℵ₀个ℵ₀，我们就得到了第1个阿列夫不动点，根据性质以此类推得到了第2个不动点…第3个不动点…第ℵ₀个不动点…第阿列夫不动点个阿列夫不动点……阿列夫不动点个阿列夫不动点个阿列夫不动点个阿列夫不动点…省略阿列夫不动点次，接下来我们引入层级概念，第1个阿列夫层级（也就是上文无论堆叠多少个阿列夫不动点都无法到达的层级）那么到达第2个阿列夫层级所需要的就是类似上文的增长（阿列夫不动点……（省略阿列夫不动点个）个第1个阿列夫层级）那么以此类推，还有第3个阿列夫层级，第4个阿列夫层级……第ℵ₀个阿列夫层级……第ℵℵ₀个阿列夫层级……第阿列夫不动点个层级，这样的层级是无穷无尽的，是无论堆叠多少个阿列夫不动点层级/阶段/境界，都无法攀爬至顶层的永恒之塔……
前文我们从基数 ℵ₀ 出发，通过不断的迭代得到了越来越大的不动点。但是，这样得到的基数只可能是奇异极限基数，而不可能是正则极限基数。正则极限基数的强大之处在于，所有自下而上所能够达到的基数都不可能同时满足正则性和极限性，但正则极限基数却将这两个看似矛盾的性质统一了起来。正如无限基数所拥有的性质“部分等于整体”让它彻底超越了所有有限基数一样，正则极限基数所拥有的性质也让它彻底超越了所有能够自上而下达到的基数。我们将不可数的正则极限基数称为弱不可达基数如果一个大于 ℵ₀的基数既是正则基数，又不能够通过取幂集达到，则称其为强不可达基数。由于不能通过取幂集达到的条件已经蕴含了极限基数的条件，因此强不可达基数一定是弱不可达基数。如果承认广义连续统假设，则反过来也是成立的，弱不可达基数也是强不可达基数。于是我们有以下结论弱不可达基数 = 强不可达基数。如果κ是不可数的正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数(或不可到达基数)我们之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们。在得到了第一个不可达基数后，对其取幂集又可以得到一个更大的基数，这是一个可达基数。然后从这个基数开始，又可以不断重复取幂集和替换的操作，直到第二个不可达基数。以此类推，有第三个、第四个不可达基数，直到任意无穷/无限多的不可达基数。若在某个不可达基数之下存在着自身那么多个不可达基数，则称之为 1-不可达基数。然后又有第二个、第三个乃至任意多的1-不可达基数。若在某个不可达基数之下存在着自身那么多的 1-不可达基数，则称之为 2-不可达基数。然后又有 3-不可达基数，4-不可达基数，以此类推。上述不可达基数的级次可以推广到任意序数，我们可以这么定义
（1）大于 ω 的正则极限基数为 0-不可达基数。
(2) 对于任意序数 α，若一个基数之下存在自身那么多个 α-不可达基数，则称该基数为(α +1)-不可达基数。
(3) 对于任意极限序数 α，若对所有序数 β < α 来说某基数都是 β-不可达基数，则称该基数为 α-不可达基数。
上述定义可以更严格地表示如下。对于 1-不可达基数来说，在它之下的不可达基数的个数与其自身相等。也就是说，若我们将所有的不可达基数所构成的类记为 X，那么 1-不可达基数与该类之交的基数（即在它之下的不可达基数的个数）应当于其自身相等（|X ∩ α| = α, ）
这里 |X ∩ α| 代表求 X ∩ α 的基数。同时也要注意到，1-不可达基数也是不可达基数，它同时也应当是 X 中的一员。因此，所有 1-不可达基数就可以表示为满足 |X ∩ α| = α 的 X 的子集，我们将其记作（Λ(X) = {α ∈ X| |X ∩ α| = α}. ）
它是 X 上的一个滤子，将 X 中一些性质更强的集合挑选了出来。更进一步地，若一个基数之下的 1-不可达基数的个数与其自身相等，那么它与所有 1-不可达基数 Λ(X) 之交的势应当等于自身
（|Λ(X) ∩ α| = α, ）
满足这一条件的基数 α 为 2-不可达基数，我们将其表示为因此我们将 2-不可达基数
Λ²
(X) = Λ(Λ(X)) = {α ∈ Λ(X)| |Λ(X) ∩ α| = α}. 类似地，任意的?-不可达基数都可以像上文一样的表达并以此不断类推…
马洛基数又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数κ，其他不可达基数在这个κ前面形成无界闭集取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是，最小不可达基数κ，需要满足cf(κ)=κ，a<κ→2^a<κ的基数，一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数，一个超不可达基数就是κ-不可达基数，每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数κ，其他不可达基数在这个κ前面形成无界闭集，则此κ为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，κ是κ-马洛基数。弱紧致基数κ是弱紧致基数是指不可数且满足κ →(κ)。所谓κ是弱紧致基数，是指在不可数且Lκ，κ-句的集合中至多只使用了κ个非逻辑符号的情况下，如果κ-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：1.κ具有分划性κ→(κ)22。2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。3.κ是强不可达基数且有数性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。4.κ是超滤性质。5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。6.κ有Vκ可扩张性质。7.κ有序性质。8.κ是π11不可描述基数。汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数不可描述基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β<α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。可迭代基数 将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根拉姆齐基数让[ κ ]＜ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramseyf : [ κ ]＜ω→{0,1}存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数， 基数κ实际上被称为Ramseyf : [ κ ]＜ω→{0,1}存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ＜κ，需要有序类型λ的f的同质集。将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。也就是，拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] ＜ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ ＜ κ ， f的其次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数，f : [ κ ] ＜ω → {0, 1}，有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是其次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。可测基数为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α＜λ的基数λ＜κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器，对于所有的xa，X∈F或A X∈F ω上存在ω-完备非一元超滤波器，当k为不可数基数，κ上存在K-完备非一元超滤波器时，κ称为可数基数。定理( ZFC )可测基数为不可达基数，可预测基数公理( Meas ) :“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入，当κ是可测基数时，根据κ上K-完备非一元超滤波器对v的超幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→M，并给出了 《φ(x1,...,xn)：L∈-理论式》∀x1,...,xn∈V(φV(x1,...,xn)↔φM(j(x1),...,j(xn)))对于所有α＜K，j(α) =α且j(K ) ＞ κ将j称为从v到m的初等嵌入，κ是j的临界点使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数κ的很多性质在这种初等嵌入的存在下，κ的可测性具有特征。也是，可测基数是一个不可数的κ ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而κ-additive意味着，对于任何序列Aα， α＜λ 的基数λ＜κ，Aα是＜κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当 κ 是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时， κ是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。强拉姆齐基数一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的 m，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。强基数如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。伍丁基数f:λ→λ存在一个基数κ＜λ和{f(β)|β＜κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M一个等效的定义是这样的：λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的A⊆V_λ存在一个λ_A＜λ这是＜λ-A-strong的超强基数当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n＞0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。强紧致基数当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。强劲基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。强劲性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超近基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。超紧致基数如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ＞δ, 存在Pδ (λ) 一个δ-完全的正则精量超滤U满足1:Pδ（λ）∩N∈U;2:U∩N∈N，就称N是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型 (weak extender model) 。κ为λ-超紧致基数是指存在满足以下条件的j:V→M成为其临界点:λM⊆M.j(κ)＞λ.κ为超紧基数是指对于任意λ≥κ，λ-超紧。巨大基数V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。伊卡洛斯基数:存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。完整性公理|3~|0|3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ→Vρ。|2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，入为临界点上方的第一个不动点，也就是， 非自明初等嵌入j:V→M，存在满足vρm且超过j临界点的最小不动点为ρ的情况。|1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入也就是存在非自明初等嵌入j:Vρ+1→Vρ+1。|0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点＜λ公理。也就是存在非自明初等嵌入j:L(Vρ+1)→L(Vρ+1)。以下更大的巨大基数的性质被选择公理所否定，但它们的存在不能只在策梅罗-弗伦克尔公理系统(即不使用选择公理ZF )中否定。莱因哈特基数莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在 Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd 在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即， ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )伯克利基数Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K，具有以下性质：对于包含k和α＜k的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中a＜临界点＜K.Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是，对于Vk上的每个二元关系R，都有(VK，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的j1，j2, j3...j1:(Vk,∈)→(VK,∈), j2：(VK,∈j1)→(Vk,∈,j1),j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈，j1，j2)等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无效。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在入序列下是封闭的，是不需要定义的类。超级莱茵哈特基数超级莱因哈特基数对于任一序数α，存在一j:V→V with j(K)＞α并具有临界点K，可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性，从而使该系统下所有命题为真。伯克利club基数κ是伯克利基数，如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α＜κ，都会有一个初等嵌入j:M＜M和crit j＜κ，如果真的存在伯克利基数，那么就会有对力迫扩张绝对，它使最小的伯克利基数有共尾性ω，通过对κ的施加一定的条件，似乎可以增强Berkeley性质，如果κ是Berkeley和α，α∈M且M有传递，那么对于任意α＜k，都有一个j:M＜M和α＜crit j＜k和crit j(a)=a，对于任意一个可传递的M∋k都存在j:M≺M与crit j＜K，基数是Berkeley，且仅当对于任何传递集M∋κ存在j:M≺M和α＜crit j＜κ，因此δ≥κ，δ也是伯克利，最小的伯克利基数也被称为δ_α，称κ为club-伯克利，如果κ是正则的，并且对于所有club→C⊆κ和所有带κ的传递集M∈M；有j∈ε(M)和crit (j)∈C，称κ为limit club伯克利，它是一个club
假定M是一个由ZFC模型组成的非空类： 我们说M是一个复宇宙，当仅当它满足： ⑴可数化公理 ⑵伪良基公理 ⑶可实现公理 ⑷力迫扩张公理 ⑸嵌入回溯公理 对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。 对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico 对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。 从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。 在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
?：在上文我们提出了复宇宙的概念，接下来我们将继续扩展他!
我们再次定M为ZFC的可数传递模型，则由M生成的脱殊复宇宙Vᴍ为满是以下条件的最小模型类： ⒈M∈Vᴍ ⒉如果N∈Vᴍ，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ ⒊如果N∈Vᴍ，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈Vᴍ 简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。 如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。 也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。 脱殊扩张V(V[G])：脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。
然而在我们的宇宙中存在一个复宇宙.并且对于任意复宇宙M,都存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。 就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙 于是我们可以继续，得到复复复宇宙等……
逻辑多元V-逻辑(V-logic)， V-逻辑具有以下的常规符号:a⁻表示V的每一个集合a V⁻表示宇宙全体集合容器V在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：一:∀b,b∈a，Ψ(b⁻)├∀x∈a⁻，Ψ(x) 二:∀a,b∈V，Ψ(a⁻)├∀x∈v⁻，Ψ(x)作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号aread-normal-img，⁻和表示V本身的常元符号V⁻，而且还有一个常元符号W⁻来表示V的“外模型”我们增加以下新公理。1.宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。2.W⁻是ZFC的一个传递模型，包含V⁻作为子集，并且与V有相同的序数。因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙,其中V⁻被正确地解释为V，W⁻被解释为V的外模型。请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=La(V)内定义的。由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“W⁻满足P”在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主意。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主意是等效的。通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元，V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）Ω逻辑与Ω猜想无穷或无限，来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。其数学符号为∞。它在科学、神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。在神学方面，根据书面记载无穷这个符号最早被用于某些秘密宗教，通常代表人类中的神性，而书写此符号时两圆的不对等代表人神间的差距，例如神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金无限集合、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。[1]摘要在[12]中，Hugh Woodin介绍了Ω-逻辑，一种方法集合宇宙中的真理，灵感来自最近在大基数中的工作。对Ω-逻辑出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这个本文给出了关于Ω-逻辑，相对到已发表的文献，导致Ω-逻辑和Ω-猜想。介绍现代集合论中的一个结果族，称为绝对性结果，表明某些大基数的存在意味着真理强制不能改变某些句子的值1.另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些正则性性质，这反过来意味着满足其他大型基数性质的模型。第一种类型的结果提出一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在每个强制扩展。经过一些技术修改，这是Woodin的Ω-逻辑，最早出现在[12]中。第二种类型的结果表明在Ω-思维方式Woodin提出了这样一个表征success被称为Ω-猜想关于Ω-思维方式以及Ω-猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。给我们简要讨论的技术背景Ω-逻辑，并证明这方面的基本定理。本文假定了集合论的基本知识，包括可构造性和强迫性。所有未定义的概念都可以在[4]中找到。1.1.准备工作给定V中的一个完整布尔代数B，我们可以通过对序数类on的递归来定义布尔值模型V B：V0B=∅VλB=[β＜λ VβB，如果λ是极限序数VαB+1=｛f:X→ B|X⊆VαB}，然后，V B=Sα∈在VαB上。V B的元素被称为B名称。每一个V的元素x有一个标准的B名称x，归纳定义为：∅=∅，和x：{y：y∈x}→ ｛1B｝。对于每个x∈VB，设ρ（x）=min{α∈On|x∈VαB+1} ，中x的秩V B。给定参数为VB的集合论语言的一个公式，如果其布尔值为1B。V B²iff[[ξ]]B=1B，其中[[·]]B由对（ρ（x），ρ（y））上的归纳定义，在正则序数对的良好排序以及公式的复杂性（参见[4]）。VB可以被认为是通过迭代B值幂集而构造的活动模由[[x=y]]B=1给出的等价关系，VαB为精确地说，在布尔值模型VB的意义上的Vα（参见[4]）：1.1号提案。对于每个序数α和每个完全布尔代数B、 VαB lect（Vα)V B即对于每个x∈VB，（y∈VαB[[x=y]]B=1）iff[[x∈Vα]]B＝1B。推论1.2。对于每个序数α和每个完全布尔代数B，VαB²ξiff V B²“VᲓ。符号：i） 如果P是偏序，那么我们写V对于V B，其中B=r.o.（P）是P的正则开完备（参见[4]）。ii）给定M是集合论的模型，我们将为（Vα）M和MαB写Mα对于（VαB）M=（Vα）MB。iii）Sent表示的是集合论。iv）在集合论语言中，TŞ{ξ}将始终是一组句子，通常扩展ZF C。v） 我们将为可数传递∈-模型写c.t.m。vi）我们将为完全布尔代数编写c.B.a。vii）对于A⊆R，我们将L（A，R）写成L（{A}ŞR），最小的传递性ZF的模型，包含所有序数、A和所有实数。像往常一样，实数将是Baire空间的一个元素N=（ωω，τ），其中τ是乘积拓扑，离散拓扑在ω上。因此实数的集合R是从ω到ω的所有函数的集合。自始至终在这篇论文中，我们经常用一般滤波器来代替布尔值滤波器模型。每一种谈话方式都可以在另一种方式中被常规地重新解释。设P是一个强迫概念。我们说*x是实数的一个简单P名称数字，如果：i） *x的元素具有以下形式(（n，m)，p），其中p∈p和n，m∈ω，使得p°p▪x（n） =m。ii）对于所有n∈ω，{p∈p|∃m使得(（n，m)，p）∈▪x}是最大值P。对于任何强迫概念P和对于实数的所有P-名称τ，存在一个简单的P-名称*x，使得°Pτ=*x。因此，任何P-通用滤波器用同样的方法解释这两个名字。设WF:={x∈ωω|Ex是成立的}，其中给定x∈Ωω，Ex:={（n，m）∈ω×ω|x（Γω和ω之间。回想一下W F是一个完全的π11.设置（请参见[4]）。设T是一个理论，其模型自然包含Peano的子模型N算术T的模型M是ω-模型，如果NM是标准的，即同构于ω。在这种情况下，我们自然地用它的同构来识别M复制M0，其中NM0为ω。Woodin在20世纪80年代推出的“固定塔强制”将用来证明关于Ω-逻辑：定义1.3。（参见[6]）（固定塔强制）i） 一套δ=∅是平稳的，如果对于任何函数F:[Şa]＜ω→ ∪a、 那里存在b∈a使得F“[b]＜ω⊆b。ii）给定一个强不可访问基数κ，我们定义了平稳Tower Forcing概念：其条件集κ={a∈Vκ：a是平稳的}，并且该顺序由以下定义：a≤b iffŞb⊆õa和{ZŞ（Şb）|Z∈a}\8838b。事实1.4。给定γ＜δ是强不可及的，a=Pω1（Vγ）∈P＜δ。证明：给定F:[Vγ]＜ω→ Vγ，设x∈[Vγ]＜ω，并设：A0=x，An+1=AnŞ{F（y）：y∈[An]＜ω}设b=S n∈ωAn。因此，b∈Pω1（Vγ）和F“[b]＜ω⊆b。回想一下Woodin基数的大基数概念：定义1.5。（[10]）基数δ是Woodin基数，如果对于每个函数f:δ→ δ存在κ＜δ与f“κ⊆κ，并且存在一个初等嵌入j:V→ M具有临界点κ，使得Vj（f）（κ）⊆M。定理1.6。（参见[6]）假设δ是Woodin基数，并且G⊆P＜δ是一个V型一般滤波器。那么在V[G]中存在一个初等嵌入j:V→ M、 M传递，使得V[G]²M＜δ⊆M和j（δ）=δ。此外，对于所有的a∈P＜δ，a∈G iff j“Şa∈j（a）格罗滕迪克宇宙ZFC宇宙v的子类u是格罗滕迪克宇宙:1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)5.U∈V (V的元素)6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。ω是整个自然数的集合。如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。也可以制作只包含有限集合的预宇宙。也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 κ 会使得 Vκ⊨ZFC. 它可以断言 Con(ZFC)。